Ф о р м у л ы с л о ж е н и я. Формулы sin(α β) = sinα cosβ cosα sin β, cos(α + β) = cosα cosβ sinα sin β, cos(α β) = cosα cosβ + sinα sin β, sin(α + - презентация

1 Ф о р м у л ы с л о ж е н и я

2 Формулы sin(α β) = sinα cost cost sin β, cos(α + β) = cost cost sinα sin β, cos(α β) = cost cost + sinα sin β, sin(α + β) = sinα cos β + cost sin β, называют формулами сложения.

3 Используя теорему синусов и определения косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, докажем, что sin(α + β) = sinαcost + costsin β Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABD и ACD с общим катетом AD = 1 А ВDC 1

4 А DBC Пусть BAD = α, CAD = β. βα AD = 1 по условию, тогда катетВD = tgα. 1 АналогичноDC = tgβ. AСD = 90° β. По теореме синусов для ABC: BC = ВD + DC = tgα + tgβ. 90° β

5 Заметим, что Получаем: sin(α + β) = (tgα + tgβ) cost sin(90° – β) откуда sin(α + β) = sinα cos β + cost sin β, что и требовалось доказать. или sin(α + β) = tgα cost sin(90° – β) + tgβ cost sin(90° – β). Эта формула доказана при условии, что α и β - острые углы. На самом деле она верна при любых α и β.

6 С помощь этого же приема нетрудно доказать, что sin(α β) = sinα cost cost sin β, cos(α + β) = cost cost sinα sin β, cos(α β) = cost cost + sinα sin β.

7 Докажем, что Разделим в полученной дроби числитель и знаменатель на cost cost, получим

8 Аналогично можно доказать, что

9 Вычислить cos240° =cos(180° + 60°)= 240° cos(α + β) = costcost sinαsinβ cos180°cos60° - sin180°sin60°= =(-1)· 0· = = 0

10 cos 3α cost – sinα sin3α = Упростить выражение: cosxcosy – sinxsiny =cos(x + y) = cos(3α + α) =cos 4α. cosxcosy + sinxsiny = cos(x y) 1